因数分解の基礎　６／４（火）

因数分解の基礎　６／４（火）

乗法公式を利用した因数分解について

乗法公式は３つしかないので覚えてください。

①a²－ｂ²＝（a＋ｂ）（a－ｂ）

②a²±２ab＋ｂ²＝（a±ｂ）²

③ｘ²＋（a＋ｂ）ｘ＋ab＝（ｘ＋a）（ｘ＋ｂ）

文字だけだと分かりにくいので、具体的な数字に置き換えて説明しますが、大前提として式を見てどの公式を使うのかは①から確かめていくようにしましょう。

まず、９a²－１６　のように何かの２乗－２乗の形になっていれば①を使います。もっと簡単に言うと項が２つのときは①を使います。

９a²は３aを二乗したもので、１６は４の２乗です。あとは出てきた数字を（　）の中に放り込んで、真ん中の符号を＋と－にするだけです。（３a＋４）（３a－４）

練習問題
（１）２５a²－３６

（２）４a²－６４ｂ²

（３）４９ｘ²－８１ｙ²

次に項が３つある場合は、まず②のパターンを考えて、②が使えなければ③を使います。

項が３つあるときは、前と後ろの項に着目して、何かの２乗になっていないか確認しましょう。
２乗になっていなければ、その時点で②の可能性はないので、③で考えます。

例えば、ｘ²＋８ｘ＋１６は前の項はｘの２乗、後ろの項は４の二乗になっていますが、この時点で②と判断するのは早計です。
もう一つ、確認することがあります。何かの２乗になっている数（今回であればｘと４）をかけてさらに２倍した数が真ん中の項と一致しているか確認します。
そうすると８ｘと８ｘで一致しているので、２乗になっている数を順番に（　）²の中にいれます。真ん中の符号は元の式（ｘ²＋８ｘ＋１６）の真ん中の項（＋８ｘ）に一致させます。つまり、（ｘ＋４）²

もし、ｘ²－８ｘ＋１６であれば、（ｘ－４）²となります。

練習問題
（４）ｘ²＋１０ｘ＋２５

（５）ｘ²－１６ｘ＋６４

（６）４ｘ²－２４ｘ＋３６

項が３つで②にあてはまらないときは③のパターンです。

例えば、ｘ²＋５ｘ＋６　このようなときは、足して真ん中の数（＋５）、かけてうしろの数（＋６）になるような２組の数を探しましょう。今回であれば、２と３です。２組の数が見つかれば、（ｘ　）（ｘ　）の空いているところに放り込んでください、
つまり、（ｘ＋２）（ｘ＋３）になります。

ｘ²＋１０ｘ＋１６のように前と後ろの項が何かの２乗になっていても、その２数の積に２をかけた数が真ん中の項と一致しなければ③の公式を使います。つまり、かけて１６、足して１０になる組み合わせです。（ｘ＋２）（ｘ＋８）

また、ｘ²＋２０ｘ＋９６のように数が大きくてすぐに２つの数が見つからないときは、かけて９６になる組み合わせを１から書き出していくと良いです。（１、９６）、（２、４８）、（３、３２）、（４、２４）、（６、１６）、（８、１２）出てきました。８と１２はかけて９６，足して２０になるので、ｘ²＋２０ｘ＋９６＝（ｘ＋８）（ｘ＋１２）です。

練習問題
（７）ｘ²＋７ｘ＋１２

（８）ｘ²－７ｘ＋１０

（９）ｘ²－３ｘ－５４

（１０）ｘ²＋１９ｘｙ＋８８ｙ²

因数分解は高校数学でもずっと出てくるので、しっかり対応できるように練習していきましょう。

解答

（１）２５a²－３６＝（５a＋６）（５a－６）

（２）４a²－６４ｂ²＝（２a＋８ｂ）（２a－８ｂ）

（３）４９ｘ²－８１ｙ²＝（７ｘ＋９ｙ）（７ｘ－９ｙ）

（４）ｘ²＋１０ｘ＋２５＝（ｘ＋５）²

（５）ｘ²－１６ｘ＋６４＝（ｘ－８）²

（６）４ｘ²－２４ｘ＋３６＝（２ｘ－６）²

（７）ｘ²＋７ｘ＋１２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）

（８）ｘ²－７ｘ＋１０＝（ｘ－２）（ｘ－５）

（９）ｘ²－３ｘ－５４＝（ｘ＋６）（ｘ－９）

（１０）ｘ²＋１９ｘｙ＋８８ｙ²＝（ｘ＋８ｙ）（ｘ＋１１ｙ）