二次関数の変化の割合の求め方　１０／３（土）

二次関数の変化の割合の求め方　１０／３（土）

二次関数の「変化の割合」の求め方

二次関数の問題で、意外と時間がかかるのが「変化の割合」です。

まずは基本を確認！

一次関数でも二次関数でも、変化の割合は

変化の割合 ＝ ｙの増加量 ÷ ｘの増加量

で求めることができます。

この公式は基本なので、まずはしっかり覚えておきましょう。

ただし、二次関数には、変化の割合をもっと簡単に求める方法があります。

二次関数なら、この公式を覚えておこう！

二次関数

ｙ＝ax²

において、ｘの値が ｓからｔまで増加するとき、

変化の割合 ＝ a（ｓ＋ｔ）

で求めることができます。

例えば、

ｙ＝２ｘ²

で、ｘの値が ２から５まで増加するとき、

２（２＋５）＝１４

となります。

なんと、これだけで変化の割合が求められます。

計算が一瞬で終わるので、入試などで時間を短縮するためにも、ぜひ覚えておきたい公式です。

なぜ「a（ｓ＋ｔ）」になるの？

「どうしてこの公式で求められるの？」と思う人もいるでしょう。

実際に計算してみると、それほど難しくありません。

二次関数

ｙ＝ax²

について、ｘの値が ｓからｔまで増加するとします。

まず、ｘの増加量は

ｔ－ｓ

です。

次に、ｙの増加量を考えます。

ｘ＝ｓのとき、

ｙ＝as²

ｘ＝ｔのとき、

ｙ＝at²

となるので、ｙの増加量は

at²－as²

です。

ここまで準備できたら、基本の公式

変化の割合 ＝ ｙの増加量 ÷ ｘの増加量

に当てはめます。

すると、

（at²－as²）÷（ｔ－ｓ）

となります。

ここから式を整理していきます。

まず、分子を「a」でくくると、

a（t²－s²）÷（ｔ－ｓ）

となります。

ここで、

t²－s²＝（ｔ－ｓ）（ｔ＋ｓ）

と因数分解できます。

したがって、

a（ｔ－ｓ）（ｔ＋ｓ）÷（ｔ－ｓ）

となります。

分子と分母に共通する （ｔ－ｓ） を約分すると、

a（ｔ＋ｓ）

だけが残ります。

つまり、

変化の割合 ＝ a（ｓ＋ｔ）

となるわけです。

まとめ

二次関数 ｙ＝ax² で、ｘの値が ｓからｔまで増加するときは、

変化の割合 ＝ a（ｓ＋ｔ）

と覚えておくと、計算時間をかなり短縮できます。

もちろん、基本の

「ｙの増加量 ÷ ｘの増加量」

から計算しても正解です。

ただ、入試では少しでも計算時間を短縮することが大切です。

まずは公式を覚えて、余裕がある人は、今回のように自分で式変形して「なぜこの公式になるのか」まで確認してみましょう。

「覚える」だけでなく、「自分で導ける」ようになると、公式もよりしっかり記憶に残ります。

公式を覚える → 使ってみる → 自分で導いてみる。

この3段階でマスターしておきましょう！